Théorème de dérivation sous le signe somme
Permet de montrer qu'une intégrale à paramètre est dérivable et de calculer sa dérivée.
- hypothèses :
- \(\forall t,x\mapsto f(t,x)\) est mesurable
- pour presque tout \(x\), \(t\mapsto f(t,x)\) est dérivable en \(t_0\), de dérivée \(\frac{\partial f}{\partial t}(\cdot,x)\)
- il existe \(g\) intégrable tq $$\forall t,\quad \lvert f(t,x)-f(t_0,x)\rvert\overset{pp}\leqslant g(x)\lvert t-t_0\rvert$$
- résultats :
- \(\displaystyle t\mapsto \int f(t,x)\,d\mu(x)\) est dérivable en \(t_0\), et sa dérivée est : $$\int\frac{\partial f}{\partial t}(t_0,x)\,d\mu (x)$$
- la troisième condition est souvent remplacée par "il existe \(g\) intégrable tq \(\forall t,\lvert\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)\rvert\leqslant g(x)\)"
- éléments de preuve : théorème de convergence dominée
Théorème de convergence dominée
